Множество обычных множеств

Относительно любого произвольно взятого множества представляется осмысленным спросить, является оно своим собственным элементом или нет. Множества, не содержащие себя в качестве элемента, назовем обычными. Например, множество всех людей не является человеком, так же как множество атомов – это не атом. Необычными будут множества, являющиеся собственными элементами. Например, множество, объединяющее все множества, представляет собой множество и, значит, содержит само себя в качестве элемента.

Рассмотрим теперь множество всех обычных множеств. Поскольку РѕРЅРѕ множество, Рѕ нем тоже можно спрашивать, обычное РѕРЅРѕ или необычное. Ответ, однако, оказывается обескураживающим. Если РѕРЅРѕ обычное, то, согласно своему определению, должно содержать само себя РІ качестве элемента, поскольку содержит РІСЃРµ обычные множества. РќРѕ это означает, что РѕРЅРѕ является необычным множеством. Допущение, что наше множество представляет СЃРѕР±РѕР№ обычное множество, РїСЂРёРІРѕРґРёС‚, таким образом, Рє противоречию. Значит, РѕРЅРѕ РЅРµ может быть обычным. РЎ РґСЂСѓРіРѕР№ стороны, РѕРЅРѕ РЅРµ может быть также необычным: необычное множество содержит само себя РІ качестве элемента, Р° элементами нашего множества являются только обычные множества. Р’ итоге РїСЂРёС…РѕРґРёРј Рє заключению, что множество всех обычных множеств РЅРµ может быть РЅРё обычным, РЅРё необычным множеством.

Итак, множество всех множеств, не являющихся собственными элементами, есть свой элемент в том и только том случае, когда оно не является таким элементом. Это явное противоречие. И получено оно на основе самых правдоподобных предположений и с помощью бесспорных как будто шагов.

Противоречие говорит о том, что такого множества просто не существует. Но почему оно не может существовать? Ведь оно состоит из объектов, удовлетворяющих четко определенному условию, причем само условие не кажется каким-то исключительным или неясным. Если столь просто и ясно заданное множество не может существовать, то в чем, собственно, заключается различие между возможными и невозможными множествами? Вывод о несуществовании рассматриваемого множества звучит неожиданно и внушает беспокойство. Он делает наше общее понятие множества аморфным и хаотичным, и нет гарантии, что оно не способно породить какие-то новые парадоксы.

Парадокс Рассела замечателен своей крайней общностью. Для его построения РЅРµ нужны какие-либо сложные технические понятия, как РІ случае некоторых РґСЂСѓРіРёС… парадоксов, достаточно понятий «множество» Рё «элемент множества». РќРѕ эта простота как раз Рё РіРѕРІРѕСЂРёС‚ Рѕ его фундаментальности: РѕРЅ затрагивает самые глубокие основания наших рассуждений Рѕ множествах, поскольку РіРѕРІРѕСЂРёС‚ РЅРµ Рѕ каких-то специальных случаях, Р° Рѕ множествах вообще.

Другие варианты парадокса

Парадокс Рассела РЅРµ имеет специфически математического характера. Р’ нем используется понятие множества, РЅРѕ РЅРµ затрагиваются какие-то особые, связанные именно СЃ математикой его свойства.

Это становится очевидным, если переформулировать парадокс в чисто логических терминах.

О каждом свойстве можно, по всей вероятности, спрашивать, приложимо оно к самому себе или нет.

Свойство быть горячим, например, неприложимо к самому себе, поскольку само не является горячим; свойство быть конкретным тоже не относится к самому себе, ибо это абстрактное свойство. Но вот свойство быть абстрактным, являясь абстрактным, приложимо к самому себе. Назовем эти неприменимые к самим себе свойства неприложимыми. Применимо ли свойство быть неприложимым к самому себе? Оказывается, неприложимость является неприложимой только в том случае, если она не является таковой. Это, конечно, парадоксально.

Логическая, касающаяся свойств разновидность антиномии Рассела, столь же парадоксальна, как Рё математическая, относящаяся Рє множествам, ее разновидность.

Рассел предложил также следующий популярный вариант открытого РёРј парадокса.

Представим, что совет одной деревни так определил обязанности парикмахера: брить всех мужчин деревни, которые не бреются сами, и только этих мужчин. Должен ли он брить самого себя? Если да, то он будет относиться к тем, кто бреется сам, а тех, кто бреется сам, он не должен брить. Если нет, он будет принадлежать к тем, кто не бреется сам, и, значит, он должен будет брить себя. Мы приходим, таким образом, к заключению, что этот парикмахер бреет себя в том и только том случае, когда он не бреет себя. Это, разумеется, невозможно.

Рассуждение Рѕ парикмахере опирается РЅР° допущение, что такой парикмахер существует. Полученное противоречие означает, что это допущение ложно, Рё нет такого жителя деревни, который Р±СЂРёР» Р±С‹ всех тех Рё только тех ее жителей, которые РЅРµ бреются сами.

Обязанности парикмахера не кажутся на первый взгляд противоречивыми, поэтому вывод, что его не может быть, звучит несколько неожиданно. Но этот вывод не является все-таки парадоксальным. Условие, которому должен удовлетворять деревенский брадобрей, на самом деле внутренне противоречиво и, следовательно, невыполнимо. Подобного парикмахера не может быть в деревне по той же причине, по какой в ней нет человека, который был бы старше самого себя или который родился бы до своего рождения.

Рассуждение Рѕ парикмахере может быть названо псевдопарадоксом. РџРѕ своему С…РѕРґСѓ РѕРЅРѕ строго аналогично парадоксу Рассела Рё этим интересно. РќРѕ РѕРЅРѕ РІСЃРµ-таки РЅРµ является подлинным парадоксом.

Другой пример такого же псевдопарадокса представляет собой известное рассуждение о каталоге.

Некая библиотека решила составить библиографический каталог, в который входили бы все те и только те библиографические каталоги, которые не содержат ссылки на самих себя. Должен ли такой каталог включать ссылку на себя?

Нетрудно показать, что идея создания такого каталога неосуществима; он просто не может существовать, поскольку должен одновременно и включать ссылку на себя и не включать.

Интересно отметить, что составление каталога всех каталогов, не содержащих ссылки на самих себя, можно представить как бесконечный, никогда не завершающийся процесс. Допустим, что в какой-то момент был составлен каталог, скажем К1, включающий, все отличные от него каталоги, не содержащие ссылки на себя. С созданием К1 появился еще один каталог, не содержащий ссылки на себя. Так как задача заключается в том, чтобы составить полный каталог всех каталогов, не упоминающих себя, то очевидно, что К1 не является ее решением. Он не упоминает один из таких каталогов – самого себя. Включив в К1 это упоминание о нем самом, получим каталог К2. В нем упоминается К1, но не сам К2. Добавив к К2 такое упоминание, получим КЗ, который опять-таки не полон из-за того, что не упоминает самого себя. И далее без конца.


2674478409664219.html
2674500948205330.html
    PR.RU™